2022年省考行測立體幾何中“螞蟻”與“壁虎”所引發(fā)的最短路徑問題

行測考試中，幾何問題是考查頻次較高的一個知識點，考查范圍可能是平面幾何或者立體幾何。但在立體幾何中，有這樣一類題型，就是讓一只“螞蟻”或者“壁虎”從幾何體中的某一個點到另外一個點，求螞蟻爬行的最短距離。立體幾何實際上考查的是考生的空間想象能力，看考生是否能將數形結合的思想運用于其中，解決這一類題型最有效的辦法是將立體幾何展開構成一個平面圖形，然后再進行分析計算。那么，問題來了。請各位小伙伴思考一個問題，是否所有的路徑最短問題都是拆立體幾何為平面圖形嗎?

【例1】一只螞蟻從右圖的正方體頂點沿正方體的表面爬到正方體頂點，設正方體邊長為a，問該螞蟻爬過的最短路程為：

A.aB.a

C.()aD.()a

【答案】B

【解析】如下圖所示，把題干中的立體幾何正面展開構成平面幾何，則螞蟻所爬行的路徑為AC，因“兩點之間直線距離最短”，為此只需要求出AC的長度即可。因為直角三角形，為此AC==

因此，選擇B答案。

【例2】長、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長方體上，有一個螞蟻從A出發(fā)沿長方體表面爬行到獲取食物，其路程最小值是多少cm?

A.13B.

C.D.17

【答案】B

【解析】如下圖所示，仍然將長方體展開為平面圖形，根據題干所求為的長度，三角形為正方形，根據勾股定理即可求出，即=

因此，選擇B答案。

經過以上兩個例子，不難看出，求幾何體中路徑最短問題，都是將立體幾何拆成平面幾何，然后采用勾股定理即可求出。那么，問題又來了。是不是所有的立體幾何拆成平面幾何以后，它所經過的行徑就是最短距離呢?請接著往下看。

【例3】一個不計厚度的圓柱型無蓋透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周長為24分米，AB為底面直徑。在塑料桶內壁桶底的B處有一只蚊子，此時，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A處，則壁虎從外壁A處爬到內壁B處吃到蚊子所爬過的最短路徑長約為：

A.10.00分米B.12.25分米

C.12.64分米D.13.00分米

【答案】C

【解析】壁虎需要從外壁爬到內壁去吃蚊子，為此最短路徑問題有兩種情況需要考慮。

(1)情況一：圓柱側面不展開，根據兩點之間線段最短，壁虎可以先豎直走上去，然后豎直走下去，再走直徑(桶是中空的)，此時，走過的距離為2.5+2.5+直徑(d)，根據πd=24，取π≈3.14，解得d≈7.64，此時走過的最短距離為2.5+2.5+7.64=12.64(分米)。

(2)情況二：圓柱側面展開為矩形，兩點之間線段最短，我們需要將A、B兩點放在同一個平面上連線即可，壁虎所經過的行徑為AC+CB，現作BD的延長線DP，使得DP+BD，連接CP，此時，即CP=CB，要使得AC+CP最短，只需AC+CP最短即可。當A、C、P三點共線時距離最短，即三點都在同一直線上。為此在直角三角形ABP中，根據勾股定理，AB=12，，即AP=13分米。結合這兩種情況，第一種情況距離最短。

因此，選擇C選項。

思維導圖

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