2020年國家公務(wù)員考試：速解牛吃草問題

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在公務(wù)員考試行測中，數(shù)量關(guān)系一直都是讓考生腦漿炸裂的部分，為了讓大家快速的掌握答題技巧，華圖教育也針對不同題型總結(jié)了一些巧妙的方法，今天就讓華圖教育帶大家一起了解一下“牛吃草問題”。

一、牛吃草模型

【例1】一個(gè)牧場長滿青草,牛在吃草而草又在不斷生長,已知牛10頭,20天把草吃盡,同樣一片牧場,牛15頭,10天把草吃盡。如果有牛25頭,幾天能把草吃盡?

【例2】牧場上長滿牧草,秋天來了,每天牧草都均勻枯萎,這片牧場可供10頭牛吃8天草,可供15頭牛吃6天�？晒�25頭牛吃多少天?

這些題目中有牛有草，牛在吃草前，草地上就有固定量的草且又出現(xiàn)了一大段以排比句形式告訴我們的已知條件，像這樣的題型我們統(tǒng)稱為“牛吃草”問題，當(dāng)然還有一些題目中不涉及牛和草，但也屬于這類問題的變形，后面我們會(huì)展示出具體的練習(xí)題，接下來我們看一看對于這樣的題我們應(yīng)該怎么解決他呢?

二、解題技巧

1、追及模型解題

我們一起來分析一下例1這道題。牧場上原有的草量是一定的，草每天生長，牛每天來吃。要想把草吃完那么必須滿足牛吃草的速度>草長的速度，我們很容易發(fā)現(xiàn)，其實(shí)牛吃草問題就是行程問題中的追及問題，也就是牛在追著草吃，既然是行程問題中的追及問題，我們馬上就想到公式：距離和=速度差X時(shí)間，我們來看一看，這里的距離和就相當(dāng)于原有草量，速度差也就是牛吃草的速度-草生長的速度，分析題目可知無論供幾頭牛吃多少天，原始草量都是不變的，根據(jù)條件我們即能列方程進(jìn)行求解。

【解析】假設(shè)每頭牛每天吃一份量的草，草生長的速度為x，吃光草時(shí)間為t，根據(jù)題意可得(10-x)×20=(15-x)×10=(25-x)×t 解出 :t=5天。

根據(jù)這道例題我們也總結(jié)出了面對追及型的牛吃草問題我們的答題思路：設(shè)每頭牛每天吃1份草，牛的頭數(shù)為N，草生長速度為X，原有草量為M，即得公式M=(N-X)*T，根據(jù)原有草量為定值列出方程組求解即可。

2、相遇型牛吃草問題

我們來看一下例2這道題和例1有什么區(qū)別，這里面的草不僅不生長了，還在以一定的速度減少，牛在吃草，草在以相反方向減少,這個(gè)就很像我們行程問題中的相遇問題,公式：距離差=速度和X時(shí)間，還是以上的思路，無論怎么變，原始草量都是不變的，我們即可列出方程求解。

【解析】假設(shè)每頭牛每天吃一份量的草，草生長的速度為x，可供25頭牛吃草時(shí)間為t，根據(jù)題意可得(10+x)×8=(15+x)×6=(25+x)×t 解出 :t=4天。

根據(jù)這個(gè)例題我們也總結(jié)出相遇型牛吃草問題的常用公式M=(N+X)*T遇到此類問題時(shí)同樣找出不變量列方程組即可求解。

3、多個(gè)草場牛吃草問題

【例3】有一草地，40畝草地的草，20只羊18天可以吃完，25畝草地的草，12只羊30天可以吃完。問60畝草地的草，多少只羊9天可以吃完?

這道題跟前兩題有些不一樣，他涉及了很多草場，原始草量也不一樣，不符合我們牛吃草的模型也辦法直接列方程組進(jìn)行求解，那我們來思考一下是否可以給它改改條件但是不影響題目中的已知條件還可以讓我們用牛吃草的模型解決問題，既然它原始草量不一樣我們可不可以給它們擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)即使他們的原始草量相同，對所有草量用最小公倍數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一。取40,25,60的最小公倍數(shù)600.題干就等同于600畝的草量300只羊吃18天，288只羊吃30天，問供多少只羊吃9天?現(xiàn)在就變成了我們標(biāo)準(zhǔn)的牛吃草模型，設(shè)草的生長速度為x，600畝可以讓n只羊吃9天，根據(jù)原始草量相同列出方程：(300-x)×18=(288-x)×30=(n-x)×9 求得n=330，所以60畝草地9天吃完需要羊數(shù)量為330÷10=33。

面對此類題目時(shí)我們通常取操場草量的最小公倍數(shù)，把它變成標(biāo)準(zhǔn)的牛吃草問題再進(jìn)行求解，這里要注意的是，隨著草場擴(kuò)大，牛的頭數(shù)也要進(jìn)行相應(yīng)倍數(shù)的擴(kuò)大，否則則改變了題目中的已知條件。

當(dāng)然在考試中一些題還是會(huì)以其他的方式出現(xiàn)，迷惑我們，但它也屬于牛吃草問題，我們看幾道練習(xí)題。

【練習(xí)1】物美超市的收銀臺平均每小時(shí)有60名顧客前來排隊(duì)付款，每一個(gè)收銀臺每小時(shí)能應(yīng)付80名顧客付款。某天某時(shí)刻，超市如果只開設(shè)一個(gè)收銀臺，付款開始4小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，問如果當(dāng)時(shí)開設(shè)兩個(gè)收銀臺，則付款開始幾小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了?

A.2

B.1.8

C.1.6

D.0.8

【答案】D。解析：此題雖未體現(xiàn)出牛與草的字眼，但原有人數(shù)不變，又以排比形式告訴我們已知條件符合牛吃草模型，即可根據(jù)上述公式列方程求解，設(shè)開兩個(gè)收銀臺付款t小時(shí)就沒有顧客了，則根據(jù)原有人數(shù)相等可列關(guān)系式(80-60)×4=(80×2-60)×t，解得t=0.8。

【練習(xí)2】某河段中的沉積河沙可供80人連續(xù)開采6個(gè)月或60人連續(xù)開采10個(gè)月。如果要保證該河段河沙不被開采枯竭，問最多可供多少人進(jìn)行連續(xù)不間斷的開采?(假定該河段河沙沉積的速度相對穩(wěn)定)

A.25

B.30

C.35

D.40

【答案】B。解析：符合牛吃草模型，根據(jù)原來沉積的泥沙不變即可列方程求解，設(shè)該河段河沙沉積速度為x，則可以列出方程(80-x)×6=(60-x)×10，解得x=30，因此要想河沙不被開采枯竭，開采速度必須≤沉積速度，取極值也就是當(dāng)二者速度相等時(shí)，即沉積速度為30，又因?yàn)榇祟悊栴}我們通常設(shè)“牛每天吃一份量的草”對應(yīng)到這道題中即每天沉積一份量的泥，因此得到結(jié)果最多供30人開采。

其實(shí)牛吃草問題并不難，只要找到不變量，列出方程組即可進(jìn)行求解。

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