2017年山西省考備戰(zhàn)之容斥原理圖示標(biāo)數(shù)法

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    容斥原理是在高中時(shí)候所學(xué)到的集合問(wèn)題，雖然整個(gè)知識(shí)體系不是很宏大，但是解題方法很具有通用性和技巧性。具體來(lái)說(shuō)，就是所有的充斥原理都可以用公式法來(lái)做，而所有的容斥原理也都可以用圖示法來(lái)做。公式法抽象，但省時(shí)間；圖示法簡(jiǎn)單易懂，但可能在某些題目里面用的時(shí)間會(huì)多一些，需要考生在學(xué)習(xí)的時(shí)候具體斟酌使用。本文將著重為大家講述如何用圖示標(biāo)數(shù)法來(lái)做有關(guān)容斥原理的題型。

    計(jì)數(shù)時(shí)保證無(wú)遺漏，無(wú)重復(fù)，這就是容斥原理，其主要工作是排斥掉重復(fù)計(jì)算的部分。如兩集合容斥原理的公式中減去A∩B，是因?yàn)锳B兩個(gè)集合交集被重復(fù)計(jì)算一次。解決容斥原理主要工具是文氏圖。

    文氏圖又稱(chēng)韋恩圖，是19世紀(jì)中期劍橋大學(xué)教員約翰·韋恩發(fā)明的將邏輯關(guān)系可視化的示意圖。從文氏圖可清晰地看出集合間的邏輯關(guān)系、重復(fù)計(jì)算的次數(shù)，最適合描述3個(gè)集合的情況。因?yàn)槿莩庠�理的兩種題型為兩集合容斥原理與三集合容斥原理。而在近幾年的考試當(dāng)中，三集合容斥原理相對(duì)來(lái)說(shuō)考到的更多，因此我們著重選擇三集合以及多集合容斥原理來(lái)講述如何用圖示法來(lái)做。

    【例1】　某市對(duì)52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格。則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？

    A.34 B.35

    C.36 D.37

    【解析】畫(huà)出文氏圖。低溫柔度、可溶物含量、接縫剪切性能不合格的一共有8+10+9=27種。在上述計(jì)算中，兩項(xiàng)不合格的產(chǎn)品被重復(fù)計(jì)算了一次，三項(xiàng)不合格的產(chǎn)品被重復(fù)計(jì)算了2次。應(yīng)用容斥原理，不合格的產(chǎn)品共有27-1×7-2×1=18種，合格的有52-18=34種。選A選項(xiàng)。

    在一些文氏圖畫(huà)法（即集合間邏輯關(guān)系）不確定的題目中，會(huì)問(wèn)某個(gè)集合至少（或至多）為多少。這類(lèi)題目通常從問(wèn)題的對(duì)立面考慮，對(duì)代表集合的圈圖進(jìn)行排列組合。由于問(wèn)的是某種極端情況，所以我們主要考慮集合間位置關(guān)系的兩種極端情況。

    左圖對(duì)應(yīng)的是3個(gè)集合覆蓋面積最多的情況，右圖是3個(gè)集合覆蓋面最少的情況。

    【例2】某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了四次語(yǔ)文模擬考試，第一次得90分以上的學(xué)生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請(qǐng)問(wèn)在四次考試中都得90分以上的學(xué)生至少是（）？

    A. 40% B. 30%

    C. 20% D. 10%

    【解析】問(wèn)四次考試90分以上的學(xué)生至少有多少，相當(dāng)于問(wèn)至少有一次90分以下的學(xué)生至多有多少。第一次考試有30%的學(xué)生90分以下，第二次考試有25%，第三次考試有15%，第四次有10%。如果剪出4個(gè)紙片，每個(gè)紙片的面積對(duì)應(yīng)單次考試未達(dá)90分的學(xué)生比例，顯然當(dāng)這些紙片互不重疊時(shí)總?cè)藬?shù)最多。即至少有一次考90分一下的學(xué)生最多為30%+25%+15%+10%=80%，四次考試中都得90分以上的學(xué)生至少為20%。選C選項(xiàng)。

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