公務(wù)員行測(cè)備考之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算典型題（十四）容斥原理問題

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　　十四、容斥原理問題

　　【頻考程度】★★★★☆

　　容斥原理是在不考慮重疊的情況下，先將所有對(duì)象的數(shù)目相加，再減去重復(fù)的部分，從而使得計(jì)算 的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。近幾年的公務(wù)員錄用考試，容斥原理是考查的重點(diǎn)。

　　(1)兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式:A+B=AUB+A∩B。

　　(2)三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式:A+B+C=AUBUC+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C。

　　【例題1】(2011年河北省真題)

　　某科研單位共有68名科研人員，其中45人具有碩士以上學(xué)歷，30人具有高級(jí)職稱，12人兼而有 之。沒有高級(jí)職稱也沒有碩士以上學(xué)歷的科研人員是多少人?()

　　A. 13 B. 10 C. 8 D. 5

　　解析:這是一道容斥原理問題。設(shè)既沒有高級(jí)職稱又沒有碩士以上學(xué)歷的人員有x人，根據(jù)容斥 原理基本公式得:45+30-12 = 68-X，解得：x=5。故選D。

　　【例題2】大學(xué)四年級(jí)某班共有50名同學(xué)，其中奧運(yùn)會(huì)志愿者10人，全運(yùn)會(huì)志愿者17人，30人兩 種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運(yùn)會(huì)志愿者而非奧運(yùn)會(huì)志愿者的同學(xué)為多少?()

　　A. 3 B. 7 C. 10 D. 17

　　解析:如圖所示，設(shè)既是奧運(yùn)志愿者又是全運(yùn)志愿者的人數(shù)為:r，根據(jù)容 斥原理得(10-x)+x+(17-x) +30 = 50，解得:x=7，17-7 = 10 人。故選 C。

　　【例題3】某班56名同學(xué)參加了奧數(shù)或作文課外興趣小組的活動(dòng)，其中參 加奧數(shù)的有32人，參加作文的有35人，問兩種活動(dòng)都參加的有多少 人?( )

　　A. 3 B. 11 C. 21 D. 24

　　解析：由題可知，兩種活動(dòng)都參加的有32+35-56 = 11人。故選B。

　　知識(shí)積累

　　一般情況下，涉及求解元素個(gè)數(shù)的題目都需要用到容斥原理。解決容斥原理問題的方法有公式法= 和文氏圖法。

　　對(duì)于一卷簡(jiǎn)單的題目，可以直接代人容斥原理公式進(jìn)行求解，對(duì)于較復(fù)雜的題目，應(yīng)用文氏圖法，并在圖上標(biāo)清已知數(shù)據(jù)，可以幫助應(yīng)試者快速地建立解題思路，然后求解。

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